Mật thư: Ma phương - Semaphore

Ma phương là 1 bảng vuông n x n ô, mỗi ô có 1 số khác nhau sao cho tổng hàng, cột và 2 đường chéo bằng nhau. Ta gọi n là bậc của ma phương.

Các số được điền vào thường là 1 dãy số tự nhiên liên tiếp, nhưng ngoài ra còn có thể điền những số khác vào. Thường chúng đều thỏa mãn 1 tính chất đặc biệt; như các ô số nguyên tố tạo thành cấp số cộng chẳng hạn. Ở đây ta chỉ xét dãy cơ bản từ 1 đến n^2.

Các thông số quan trọng.
- Xét theo cách tạo lập, có 3 loại ma phương: n = 2k+1 (hay ma phương bậc lẻ), n = 4k và n = 4k+2.
- Tổng hàng, cột và chéo luôn bằng n(n^2+1)/2, ta tạm gọi là đặc số của ma phương.
- Bù của 1 dòng bằng n^2+1 trừ đi tất cả các số trong dòng. Tương tự với cột.
- Mỗi ma phương bậc n có 4 góc nhìn thẳng và nC1 cách đổi 2 dòng, (n-2)C2 cách đổi 4 dòng... (nếu bậc lẻ thì thay nC1 bằng (n-1)C1 v.v)

1. Cách tạo ma phương bậc lẻ:

Ngoài cách tạo được ghi trong I.3c CDMT (gọi là phương pháp Siamese), còn có phương pháp Lozenge (hay hình thoi).

Để kiểm tra 1 ma phương theo phương pháp Siamese, hai dòng biên phải có tính chất:
dòng dưới + (n+1) = dòng trên (modulo n^2+n)

Phương pháp hình thoi.

Điền 1 3 5... theo 5 đường chéo như sau:

** ** 05 ** **
** 03 09 15 **
01 07 13 19 25
** 11 17 23 **
** ** 21 ** **

Điền 2 4 cùng 1 đường chéo với 1 3 5:

** ** 05 ** **
** 03 09 15 **
01 07 13 19 25
** 11 17 23 04
** ** 21 02 **

Và 6 8 10 cùng 1 đường chéo với 7 9:


** ** 05 06 **
** 03 09 15 **
01 07 13 19 25
10 11 17 23 04
** ** 21 02 08

Làm tương tự với 3 đường chéo còn lại để thu được ma phương bậc 5:

18 24 05 06 12
22 03 09 15 16
01 07 13 19 25
10 11 17 23 04
14 20 21 02 08

Tách ma phương. Giả sử ta bắt đầu từ 0 thay vì 1, thì 1 số có thể viết dưới dạng 5k+q với q thuộc {0, 1, 2, 3, 4}.

|17 23 04 05 11| ------------- |2 3 4 0 1| ......|3 4 0 1 2|
|21 02 08 14 15| ------------- |1 2 3 4 0| ......|4 0 1 2 3|
|00 06 12 18 24| ------------- |0 1 2 3 4| + 5 * |0 1 2 3 4|
|09 10 16 22 03| ------------- |4 0 1 2 3| ......|1 2 3 4 0|    
|13 19 20 01 07| ------------- |3 4 0 1 2| ......|2 3 4 0 1|

hay M = Q + 5K.

Ma trận Q và K gọi là hình vuông Latin và nếu đổi chỗ các dòng theo từng cặp đối xứng trong Q thì thu được ma trận K.

2. Cách tạo ma phương bậc chẵn

2a. Ma phương bậc n = 4k

Phương pháp chéo. Chia bảng n x n thành các hình vuông nhỏ 4 x 4. Đánh số như bình thường, trừ những vị trí có màu:

** ** ** **
** ** ** **
** ** ** **
** ** ** **
1 hình vuông nhỏ 4 x 4

Ở những vị trí này, ta điền vào n^2+1 trừ đi số thứ tự của nó.

Ma phương bậc 4 được tạo thành:

16 02 03 13
05 11 10 08
09 07 06 12
03 14 15 01

Phương pháp khối

Chia bảng 4n x 4n thành 16 khối n x n. Các khối màu đỏ sẽ đánh xuôi, ngược lại thì lấy n^2+1 trừ đi số thứ tự.

** ** ** **
** ** ** **
** ** ** **
** ** ** **
Bảng 4n x 4n gồm 16 khối n x n

Ma phương bậc 4 được tạo ra sẽ bù với ma phương bậc 4 ở trên.
Từ bậc 8 trở đi thì không có hiện tượng này.

2b. Ma phương bậc n = 4k+2

Phương pháp LUX (Conway). Chia bảng thành các khối 2 x 2 như sau:

L L L L L
L L L L L
L L U L L
U U L U U
X X X X X
Ví dụ với n=10: 5x5 khối 2x2

Đổi chỗ khối U và L ở giữa 2 dòng.
Có k+1 dòng L, 1 dòng U và k-1 dòng X như vậy.

Cách điền trong các khối 2x2:

4 1.........1 4.........1 3
2 3.........2 3.........4 2
.L...........U...........X

Sau đó chọn khối tương tự như trong phương pháp Siamese.

Ma trận 6x6:

32 29 04 01 24 21
30 31 02 03 22 23
12 09 17 20 28 25
10 11 18 19 26 27
13 16 36 33 05 08
14 15 34 35 06 07

3. Mở rộng

- Điều chỉnh khoảng số: Khi tăng lên 1 số thì đặc số tăng n^2.
- Điều chỉnh công sai: 1, 2, ..., n^2 là cấp số cộng với công sai (hiệu 2 số liên tiếp) bằng 1; tăng công sai lên 1 thì đặc số tăng lên 0 + 1 + 2 + ... + (n-1)^2 = (n-1)n^2.
- Thay các cách đi trong phương pháp Siamese với nước đi của quân Mã.

Ma phương bậc 6 có thể mã hóa 26 kí tự + 10 chữ số 0-9, hoặc 29 kí tự + 5 dấu thanh.




Định nghĩa. Semaphore là 1 hệ thống truyền tin thị giác. Người phát tin cầm mỗi lá cờ đỏ - trắng với một tay, và vẫy cờ (hay "múa" cờ) để phát. (Một số nghi thức^[1] truyền tin yêu cầu người nhận tin phát lại để xác nhận, chi tiết các nghi thức truyền tin nằm ngoài phạm vi của bài này) Mỗi kí tự được mã hóa bằng vị trí 2 cánh tay, hay 2 lá cờ. Có cả thảy 8 vị trí cánh tay, hai vị trí liên tiếp cách nhau 45 độ.

Một quy tắc ghi Semaphore đơn giản như sau: Bắt đầu từ vị trí 12h đánh số 1, từ đó đánh theo chiều kim đồng hồ.

8 1 2
7 X 3
6 5 4

Một quy tắc khác sử dụng "vòng tròn Semaphore" - một phương pháp học Semaphore. Một tay ở vị trí 6h, tay còn lại từ vị trí 7h30 đi 1 vòng ghi lại 7 kí tự A B C D E F G là vòng tròn đầu tiên.

3 4 5
2 X 6
1 0 7

Vị trí 6h không có kí hiệu.

Ta còn có thể đọc 1 tay là kim giờ hay phút và ghi dưới dạng giờ.

Nhận dạng.Từ khóa quan trọng của mật thư Semaphore là Sem và số 7 (hoặc , như nhạc có 7 âm và đất trời có 8 hướng. Với quy tắc 7 thì có thể có 1 kí tự đơn lẻ trong NW thay vì một cặp.

7 vòng tròn Semaphore:

C D E.....I K L.....O P Q
B X F.....H X M.....! X R
A ! G.....! * N.....* * S

! T U.....* ! #.....* * !.....* * *
* X Y.....* X J.....* X W.....* X !
* * /\....* * V.....* * X.....* * Z

Có 3 kí tự đặc biệt:
- /\ : Xóa kí tự vừa đánh ("backspace")
- # : Đọc theo số (từ A đến I là 1 và 9, K là 0)
- J : Đọc theo chữ (khi đánh theo số thì đánh chữ J đổi lại)

Bảng mã 8:
A = 56
B = 57
C = 58
D = 51
E = 52
F = 53
G = 54
H = 67
I = 68
J = 13
K = 61
L = 62
M = 63
N = 64
O = 78
P = 71
Q = 72
R = 73
S = 74
T = 81
U = 82
V = 14
W = 23
X = 24
Y = 83
Z = 34
/\ = 84
# = 12

Bảng mã 7:

A = 1
B = 2
C = 3
D = 4
E = 5
F = 6
G = 7
H = 12
I = 13
J = 46
K = 14
L = 15
M = 16
N = 17
O = 23
P = 24
Q = 25
R = 26
S = 27
T = 34
U = 35
V = 47
W = 56
X = 57
Y = 36
Z = 67
/\ = 37
# = 45

Hai cách thay số là:
- Sử dụng từ khóa theo cách của mật thư "định ước". Chú ý là nếu khóa cho dấu thì phải thử cả dạng có lẫn không dấu để thay vào.

VD: "Lá cờ chiến thắng" thì CHIEN THANG sẽ trở thành CHIENTAG, và thay thế như sau:

C H I E N T A G
1 2 3 4 5 6 7 8

Ngày tháng năm cũng tương tự.
- Thơ thất ngôn (7 chữ). Nếu ta nhìn theo tọa độ thì ta sẽ có một bảng có hai màu: màu nền và màu tô.
Có thể nói cứ 7 hay 8 món khác nhau thì có thể đại diện cho 8 vị trí tay.

Thay bảng số. Thay vì từ 1 đến 8, ta có thể chọn 1 dãy khác để mã hóa 8 vị trí tay. Một cách chọn là thay bảng 3x3 bằng ma phương.
Thay vì bắt đầu từ 1, ta cũng có thể bắt đầu từ 0, vậy số 0 được coi như là "không có".

VD:

OTT: 13 chữ X thật phiền
Dấu son 37 xóa liền 53

NW: 1, 51, 85, 12, 56 - 3, 67, 5, 35, 7 - 5, 23, 37, 72, 73 - 23, 53, 25, 7, 86 - 3, 16, 67, 27, 12 - 86 - AR.

Ta thấy có 3 và 2, tức là phải bắt đầu từ 0. Ở đây cần nhớ số 4 phải nằm ở tâm. Ta xác định được vị trí của số 3 vì nốt Son = G. Nhờ đó xác định được cả 1, 2 và 7. Ta có ma phương:

5 * 1
* 4 *
7 * 3

Phần còn lại xin dành cho bạn đọc.

Thực ra ta chỉ cần biết thêm 2 vị trí (+ số 4) là xác định được ma phương.


^[1] Nghi thức là 1 tập các quy tắc chính xác được đưa ra để thực hiện việc nào đó (như nghi lễ).